Question

【题目】对于定义在上的函数，若存在正常数，使得对一切均成立，则称是“控制增长函数”。在以下四个函数中：①②③④是“控制增长函数”的有（空格上填入函数代码）________.

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

假设各函数为“控制增长函数”，根据定义推导f（x+a）≤f（x）+b恒成立的条件，判断a，b的存在性逐项判断即可得出答案．

对于①，f（x+a）≤f（x）+b可化为：（x+a）2+（x+a）+1≤x2+x+1+b，

即2ax≤﹣a2﹣a+b，即x对一切x∈R均成立，

由函数的定义域为R，故不存在满足条件的正常数a、b，故f（x）＝x2+x+1不是“控制增长函数”；

对于②，若f（x）是“控制增长函数”，则f（x+a）≤f（x）+b可化为：b，

∴|x+a|≤|x|+b2+2b恒成立，又|x+a|≤|x|+a，

∴|x|+a≤|x|+b2+2b，∴，显然当a＜b2时式子恒成立，

∴f（x）是“控制增长函数”；

对于③，∵﹣1≤f（x）＝sin（x2）≤1，∴f（x+a）﹣f（x）≤2，

∴当b≥2时，a为任意正数，使f（x+a）≤f（x）+b恒成立，故f（x）＝sin（x2）是“控制增长函数”；

对于④，若f（x）＝xsinx是“控制增长函数”，则（x+a）sin（x+a）≤xsinx+b恒成立，

∵（x+a）sin（x+a）≤x+a，∴x+a≤xsinx+b≤x+b，即a≤b，

∴f（x）＝xsinx是“控制增长函数”．

故答案为：②③④