Question

【题目】已知函数 ，

（1）求的取值范围，使在闭区间上存在反函数；

（2）当时，函数的最小值是关于的函数，求的最大值及其相应的值；

（3）对于，研究函数的图像与函数的图像公共点的个数，并写出公共点的横坐标.

Answer 1

【答案】(1)或；（2）当 时，最大值；

（3）当时，公共点有个，横坐标为；

当时，公共点有2个，横坐标为；

当或或时，公共点有个，横坐标为，

当或时，公共点有个，横坐标为.

【解析】

（1）根据在闭区间上存在反函数，则在上单调，从而得到关于的不等式，求出的范围；（2）动轴定区间，按照，，，分别研究函数的最小值，然后得到，在分段研究的最大值，得到答案；（3）

（1）函数 图像的对称轴为.

因为在闭区间上是存在反函数，

所以在闭区间上是单调函数，

所以得到或.

故或.

（2）函数，，图像的对称轴为

当，即时，在上单调递增，

所以；

当，即 时，

在上单调递减，在上单调递增，

当，即时，在上单调递减，

所以，

当时，单调递增，所以，

当时，，开口向下，对称轴为，

所以在时候有最大值为，

当时，单调递减，在时，有最大值，，

综上所述，当 时，有最大值，为.

（3）公共点的横坐标满足 .

即是方程 的实数解.

设，

则直线 与有公共点时的横坐标与上述问题等价.

①当 或时，；

解方程 即，

得， ；

②当 时，.

解方程即，

得或；

若，则或，

当时，公共点有个，横坐标为；

当时，公共点有2个，横坐标为.

若，则

若，则

当或或时，和不在对应的的范围内，

则公共点有个，横坐标为，

当或时，和都在对应的的范围内，且不相等，

则公共点有个，横坐标为

综上所述，

当时，公共点有个，横坐标为；

当时，公共点有2个，横坐标为；

当或或时，公共点有个，横坐标为，

当或时，公共点有个，横坐标为.