Question

8．已知函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$，数列{a_n}是公比大于0的等比数列，且满足a₆=1，f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₉）+f（a₁₀）=-a₁，则a₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$，可得f（x）+$f（\frac{1}{x}）$=0，f（1）=0．根据数列{a_n}是公比大于0的等比数列，且满足a₆=1，可得a₂a₁₀=a₃a₉=a₄a₈=a₅a₇=${a}_{6}^{2}$=1，代入化简即可得出．

解答 解：∵函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$，
∴f（x）+$f（\frac{1}{x}）$=x-$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x}$-x=0，f（1）=0．
数列{a_n}是公比大于0的等比数列，且满足a₆=1，
∴a₂a₁₀=a₃a₉=a₄a₈=a₅a₇=${a}_{6}^{2}$=1，
f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₉）+f（a₁₀）
=f（a₁）+f（a₆）
=${a}_{1}-\frac{1}{{a}_{1}}$=-a₁，a₁＞0．
则a₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其性质、函数性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．