Question

【题目】如果在一条平面曲线上存在四点，使得这四点构成的图形是一个菱形，则称该曲线存在内接菱形．现已知双曲线，双曲线，其中，，．证明：在双曲线与中有且仅有一条存在内接菱形．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

先证如下两个引理．

引理1　若双曲线存在内接菱形，则该菱形的中心必是原点．

不妨设双曲线上存在内接菱形，其坐标分别为、、、，对角线与的交点为．

若直线（或）平行轴，则（或）必为轴．易知此时、、、四点不满足题意．故直线与的斜率均存在，设为、．

由，，

两式相减，得，即．

由上式知，若、中有一个为零时，则两个均为零．

若、均不为零，则可得．

同理，可得．

上面两式相乘，得．

这是不可能的．故总有、成立．

引理2　双曲线存在内接菱形的充要条件是．

如图，，分别是双曲线的两条渐近线．

若四边形是其内接菱形，

则必有、，且，即．

故必有，即．

∴．

反之，当时，易知在该双曲线上必存在一个中心为原点的内接菱形．引理2得证．

下面利用上述两个引理来证明原题．

由于和为一对共轭双曲线，且，故当时，知上存在内接菱形，而上不存在；

当时，知上存在内接菱形，而上不存在．

故双曲线和上有且仅有一条上存在内接菱形．