Question

【题目】一个有限整数数列称为一个“好数列”，是指对每个均使得等式成立.证明：对任何两个整数，都存在一个自然数和一个“好数列”，满足.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

由题设有.

故.

设， 只须证：

对任何整数， 存在自然数，可以在形如中的“（ ）”内适当填上“+”或“-”，使其等于.

由于对任意自然数，有，

.

故对于中任意连续4项，可适当填上“+”或“-”，使其等于4或- 4.

下面分 4 种情形讨论.

（1）时， 取，显然满足要求.（另，因限制，则可取，使前4项和为4，后4项和为-4.）

（2）时，取，在填“+”，而使后面的项和为，此时，项和为.

（3）时，取，使前4项和为，后面项和为，此时，项和为.

（4）时，取，在前填“－”，而使后面的项和为，此时，项和为.

综上所述，所证命题成立.