Question

【题目】如图，在多面体中，两两垂直，四边形是边长为2的正方形，，，且，.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）连接AE,EG，根据直线的垂直关系可得平面及平面，结合所给边长及平行关系可知四边形是菱形，进而得到，在正方形中平面。

（2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，求得平面的法向量及平面的法向量，即可利用向量的数量积关系求得二面角的余弦值。

(1)证明：连接，

因为两两垂直，所以平面

因为，所以，又，所以平面

所以，又因为，所以四边形是菱形，所以

易知四边形是平行四边形，所以

在正方形中，，故

又，所以平面

（2）由（1）知两两互相垂直，故以为坐标原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，则，，

设为平面的法向量，

则

令，则，，所以

又因为平面，所以为平面的一个法向量

由图可知二面角是钝角，所以二面角的余弦值为.