Question

已知椭圆C:的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切。

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点M(2，0)的直线与椭圆C交于两点A和B，设P为椭圆上一点，且满足·（O为坐标原点），当 时，求实数t取值范围。

 

Answer 1

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）利用圆心到直线的距离等于短半轴长及离心率为建立方程，解方程即可求出椭圆C的方程；（2）可以设直线：与椭圆方程联立，得到方程，然后结合题目条件满足·（O为坐标原点），，利用判别式及韦达定理建立不等式，可以求出t的取值范围.

试题解析：(Ⅰ) 由题意知，短半轴长为：， 1分

∵，∴，

即，∴， 2分

故椭圆的方程为：. 3分

（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线：， 4分

设，，，

由得，. 5分

，解得. 6分

.

∵，∴，解得，. 7分

∵点在椭圆上，∴，

∴. 8分

∵，∴，

∴，∴，

∴，∴ 10分

∴，∵，∴，

∴或，

∴实数取值范围为. 12分

考点：（1）椭圆的标准方程；（2）向量在解析几何在的应用；（3）直线与圆锥曲线的问题.