Question

设函数f（x）=x³-2ex²+mx-lnx，记g（x）=

f(x)

x

，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（　　）

• A、（-∞，e²+

  1

  e

  ]
• B、（0，e²+

  1

  e

  ]
• C、（e²+

  1

  e

  ，+∞]
• D、（-e²-

  1

  e

  ，e²+

  1

  e

  ]

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：由题意先求函数的定义域，再化简为方程x³-2ex²+mx-lnx=0有解，则m=

-x3+2ex2+lnx

x

=-x²+2ex+

lnx

x

，求导求函数m=-x²+2ex+

lnx

x

的值域，从而得m的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=x³-2ex²+mx-lnx的定义域为（0，+∞），
又∵g（x）=

f(x)

x

，
∴函数g（x）至少存在一个零点可化为
函数f（x）=x³-2ex²+mx-lnx至少有一个零点；
即方程x³-2ex²+mx-lnx=0有解，
则m=

-x3+2ex2+lnx

x

=-x²+2ex+

lnx

x

，
m′=-2x+2e+

1-lnx

x2

=-2（x-e）+

1-lnx

x2

；
故当x∈（0，e）时，m′＞0，
当x∈（e，+∞）时，m′＜0；
则m=-x²+2ex+

lnx

x

在（0，e）上单调递增，
在（e，+∞）上单调递减，
故m≤-e²+2•e•e+

1

e

=e²+

1

e

；
又∵当x₊→0时，m=-x²+2ex+

lnx

x

→-∞，
故m≤e²+

1

e

；
故选A．

点评：本题考查了导数的综合应用及函数的零点与方程的关系，属于中档题．