Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的直观图和三视图如图所示，其主视图BB₁A₁A和侧视图A₁ACC₁均为矩形，其中AA₁=4．俯视图△A₁B₁C₁中，B₁C₁=4，A₁C₁=3，A₁B₁=5，D是AB的中点．
（1）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（2）求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）设BC₁与B₁C相交与O，只要证明OD∥AC₁，利用线面平行的判定定理证明；
（2）由三视图得到三棱柱的各棱长，通过（1）得到异面直线所成的角，然后由余弦定理求之．

解答： （1）证明：设BC₁与B₁C相交与O，则O是B₁C的中点，又D是AB的中点，
所以OD∥AC₁，又OC?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
所以AC₁∥平面CDB₁；
（2）解；由（1）得到OD∥AC₁，异面直线AC₁与B₁C所成角的为∠COD或者∠B₁OD，
又AA₁=4，AC=3，BC=4，所以AB=5，OC=2

2

，所以OD=

5

2

，CD=

5

2

，
所以cos∠COD=

OC2+OD2-CD2

2OC×OD

=

2

5

，
所以异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值

2

5

．

点评：本题考查了几何体的三视图以及线面平行的判定和异面直线所成的角，正确将问题转化是关键．