Question

过点(2-

1

n

，0)(n∈N*)且方向向量为（2，1）的直线交双曲线x²-y²=4于A_n，B_n两点，记原点为O，△OA_nB_n的面积为S_n，则

lim

n→∞

Sn=

 

．

Answer 1

考点：数列的极限

专题：综合题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：依题意，可知过点（2-

1

n

，0）的直线的斜率为

1

2

，n→+∞时，点（2-

1

n

，0）→（2，0），原问题转化为直线x-2y-2=0与双曲线x²-y²=4的两个交点A、B与原点O所组成的三角形的面积，利用直线与圆锥曲线的位置关系，利用弦长公式、三角形的面积公式即可求得答案．

解答： 解：∵过点(2-

1

n

，0)(n∈N*)且方向向量为（2，1），即其斜率k=

1

2

，

lim

n→∞

（2-

1

n

）=2，
∴当n→+∞时，点（2-

1

n

，0）→（2，0），
∴n→+∞时，△OA_nB_n的面积就是直线y-0=

1

2

（x-2），即x-2y-2=0与双曲线x²-y²=4的两个交点A、B与原点O所组成的三角形的面积，设为S，
由

x-2y-2=0 x2-y2=4

消去x得：3y²+8y=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂，=-

8

3

，y₁•y₂，=0，x₁+x₂，=2y₁+2y₂，+4=-

4

3

，
∴|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

1+( 1 1 2 )2

•

(y2+y1)2-4y1y2

=

5

•

8

3

=

8 5

3

．
又O点到直线x-2y-2=0的距离d=

|-2|

12+(-2)2

=

2

5

，
∴S=

lim

n→∞

Sn=

1

2

|AB|•d=

1

2

×

8 5

3

×

2

5

=

8

3

．
为S_n，
故答案为：

8

3

．

点评：本题考查数列的极限，理解题意，求得

lim

n→∞

（2-

1

n

）=2，原问题转化为直线x-2y-2=0与双曲线x²-y²=4的两个交点A、B与原点O所组成的三角形的面积是关键，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查弦长公式，考查转化思想与综合运算能力．