Question

已知函数f（x）=sinx，g（x）=cos²x，以下判断正确的序号是

 

（1）函数h（x）=f（x）-tanx在x∈（-

π

2

，0]上的零点只有1个．
（2）函数h（x）=f（x+1）-

π

2x+2

在x∈（1，2π）上的零点只有1个．
（3）函数h（x）=

1

2

f（x）+g（x）+a在x∈[0，π]的零点个数为1个时，a无解
（4）函数h（x）=

1

2

f（x）+g（x）+a在x∈[0，π]的零点个数为2时，a∈（-1，-

1

2

）∪{-

17

16

}．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,阅读型,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：运用零点的定义，解方程，即可判断（1）；运用导数判断函数的单调性，即可判断零点个数，可判断（2）；令h（x）=0，运用同角公式和正弦函数的性质，即可判断（3）、（4）．

解答： 解：对于（1），由sinx=tanx，即有sinx=0或cosx=1，在x∈（-

π

2

，0]上只有x=0，则（1）对；
对于（2），h（x）=sin（x+1）-

π

2x+2

，h′（x）=cos（x+1）+

π

2(x+1)2

，由于1＜x＜2π，h′（x）=0有解，则h（x）不单调，则零点不唯一，则（2）错；
对于（3），h（x）=

1

2

sinx+cos²x+a，令h（x）=0，则sin²x-

1

2

sinx=1+a，即（sinx-

1

4

）²=a+

17

16

，
由于0≤x≤π，则sinx∈[0，1]，若h（x）零点个数为1，则x=

π

2

，此时a=-

1

2

，则（3）错；
对于（4），由（sinx-

1

4

）²=a+

17

16

，由于0≤x≤π，则sinx∈[0，1]，sinx-

1

4

∈[-

1

4

，

3

4

]，
若h（x）零点个数为2，即有0≤

a+ 17 16

＜

3

4

，且-

a+ 17 16

＜-

1

4

，解得，-1＜a＜-

1

2

或a=-

17

16

．则④对．
故答案为：（1）（4）．

点评：本题考查函数的零点的判断和求法，考查函数的性质和运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．