Question

已知函数y=x+

k

x

有如下性质：如果常数k＞0，那么该函数在（0，

k

）是减函数，在(

k

，+∞)是增函数．
（1）已知f（x）=

4x2-12x+13

2x-3

，利用上述性质，试求函数f（x）在x∈[2，3]的值域和单调区间；
（2）由（1）中的函数f（x）和函数g（x）=x+a，若对任意的x∈[2，3]，不等式f（x）＜g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）通过令μ=2x-3换元，将原函数转化为y=μ+

4

μ

，利用已知条件，得到函数的值域的单调区间，再μ满足的区间转化为x取值区间，得到本题结论；（2）本题恒成立问题，利用参变量分离，转化为求y=x+

k

x

型函数最值问题，求出函数最值，得到本题结论．

解答： 解：（1）令μ=2x-3（1≤μ≤3），
∴y=μ+

4

μ

，
依题可知：y=μ+

4

μ

在区间[1，2）单调递减，在区间[2，3]单调递增．
∴y=f（x）的值域为[4，5]；
当μ∈[1，2]时，x∈[2，

5

2

]，
当μ∈（2，3]时，x∈(

5

2

，3]．
∴y=f（x）的单调递减区间为[2，

5

2

]，单调递增区间为(

5

2

，3]
（2）依题可知，∵f（x）＜g（x）恒成立，
∴a＞

4x2-12x+13

2x-3

-x在x∈[2，3]恒成立．
设h(x)=

4x2-12x+13

2x-3

-x=

2x2-9x+13

2x-3

，
令μ=2x-3（1≤μ≤3），
则y=

1

2

(μ+

8

μ

-3)≤3．
∴a＞3．

点评：本题考查了y=x+

k

x

型函数的单调性和最值、还考查了化归转化的数学思想方法，本题难度不大，属于基础题．