Question

求函数f（x）=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|2011x-1|（x∈R）的最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：由绝对值的几何意义联想到求距离的最小值，如|x-a|+|x-b|的最小值应该是在数轴上a，b两点之间取得，最小值为|a-b|，
由此把函数f（x）整理为|x-1|+|x-

1

2

||+|x-

1

2

|+|x-

1

3

|+|x-

1

3

|+|x-

1

3

|+…+|x-

1

2011

|+|x-

1

2011

|+|x-

1

2011

|+…+|x-

1

2011

|，再用绝对值的意义解题．

解答： 解：由绝对值的几何意义联想到求距离的最小值，如|x-a|+|x-b|的最小值应该是在数轴上a，b两点之间取得，且最小值为|a-b|
所以将函数f（x）的右边整理为|x-1|+|x-

1

2

||+|x-

1

2

|+|x-

1

3

|+|x-

1

3

|+|x-

1

3

|+…+|x-

1

2011

|+|x-

1

2011

|+|x-

1

2011

|+…+|x-

1

2011

|，
共有1+2+3+…+2011=1006×2011项，则f（x）可以理解为x 到这1006×2011个点的距离之和
从两端开始向中间靠拢，每两个绝对值和的最小值都是在相应的零点之间取得，而且范围是包含关系，比如|x-1|+|x-

1

2011

|的
最小值是在x∈[

1

2011

，1]上取得，再如|x-

1

2

|+|x-

1

2011

|的最小值是在x∈[

1

2011

，

1

2

]上取得，
所以，f（x）的最小值应该在正中间的某个零点或相邻两个零点之间取得，
由

1006×2011

2

=503×2011 可知取得最小值的范围在第503×2011个零点和第503×2011+1个零点之间（这两个零点也可能相等）
由

n×(n+1)

2

＜503×2011 算得n≤1421，
所以第503×2011个零点和第503×2011+1个零点均为

1

1422

则f_min=f（

1

1422

）=

592043

711

．

点评：本题主要应用绝对值的意义求解函数的最值，此等类型的题目应合理转化．