Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点F（-1，0），离心率为

2

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设P（1，0），过P的直线l交椭圆C于A，B两点，求

OA

•

OB

的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦点坐标即可求出椭圆方程，
（Ⅱ）分两种情况，当直线的斜率不存在时，当斜率存在时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），构造方程组，利用韦达定理，得到两根和与两根积，再根据

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂，化简计算即可

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点F（-1，0），
∴c=1，由

1 a = 2 2 a2-b2=1

得a=

2

，b=1，椭圆方程为

x2

2

+y2=1
（Ⅱ）若直线l斜率不存在时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

1 2 x2+y2=1 x=1

则x₁=x₂=1，y₁=

2

2

，y₂=-

2

2

则

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=1-

1

2

=

1

2

，
若直线l斜率存在时，
设直线l：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

1 2 x2+y2=1 y=k(x-1)

，
得到得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴△=8k²+8＞0
∴x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k（x₁-1）•k（x₂-1）=x₁x₂+k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=（1+k²）x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²，
∴

OA

•

OB

=-k²•

4k2

1+2k2

+（1+k²）•

2k2-2

1+2k2

+k²=

k2-2

1+2k2

点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆方程，直线与椭圆的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用是求解本题的关键