Question

求证：(

a+b+c

3

)3≤

a3+b3+c3

3

．a，b，c＞0．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：设函数f（x）=x³（x＞0），则点P（

a+b+c

3

，f（

a+b+c

3

））在f（x）图象上，设过P的切线方程为：y=kx+t，由于x＞0时，图象上凹，切线在图象的下方，则f（a）≥ka+t，f（b）≥kb+t，f（c）≥kc+t，累加即可得证．

解答： 解：设函数f（x）=x³（x＞0），
则点P（

a+b+c

3

，f（

a+b+c

3

））在f（x）图象上，
设过P的切线方程为：y=kx+t，
由于x＞0时，图象上凹，切线在图象的下方，
则f（a）≥ka+t，f（b）≥kb+t，f（c）≥kc+t，
则有

f(a)+f(b)+f(c)

3

≥k•

a+b+c

3

+t，
由于f（

a+b+c

3

）=k•

a+b+c

3

+t，
则f（

a+b+c

3

）≤

f(a)+f(b)+f(c)

3

，
即有（

a+b+c

3

）³≤

a3+b3+c3

3

．

点评：本题考查不等式的证明，考查运用图象与切线的关系证明不等式的方法，考查推理能力，属于中档题．