Question

8．已知两个不相等的非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，两组向量均由$\overrightarrow{{x}_{1}}$，$\overrightarrow{{x}_{2}}$，$\overrightarrow{{x}_{3}}$，$\overrightarrow{{x}_{4}}$和$\overrightarrow{{y}_{1}}$，$\overrightarrow{{y}_{2}}$，$\overrightarrow{{y}_{3}}$，$\overrightarrow{{y}_{4}}$均由2个$\overrightarrow{a}$和2个$\overrightarrow{b}$排列而成，记S=$\overrightarrow{{x}_{1}}$•$\overrightarrow{{y}_{1}}$+$\overrightarrow{{x}_{2}}$•$\overrightarrow{{y}_{2}}$+$\overrightarrow{{x}_{3}}$•$\overrightarrow{{y}_{3}}$+$\overrightarrow{{x}_{4}}$•$\overrightarrow{{y}_{4}}$，S_min表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题中正确的个数为（　　）
①S有3个不同的值；
②若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则S_min与|$\overrightarrow{b}$|无关；
③若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则S_min与|$\overrightarrow{b}$|无关；
④若|$\overrightarrow{b}$|=2|$\overrightarrow{a}$，S_min=4${|\overrightarrow{a}|}^{2}$，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由题意得到所有的S值判断①，利用作差法求得S的最小值结合向量垂直、平行及数量积运算判断②③④，则答案可求．

解答 解：由题意可知，S=$\overrightarrow{{x}_{1}}$•$\overrightarrow{{y}_{1}}$+$\overrightarrow{{x}_{2}}$•$\overrightarrow{{y}_{2}}$+$\overrightarrow{{x}_{3}}$•$\overrightarrow{{y}_{3}}$+$\overrightarrow{{x}_{4}}$•$\overrightarrow{{y}_{4}}$ 有三个值，分别为$2{\overrightarrow{a}}^{2}+2{\overrightarrow{b}}^{2}$、${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$、$4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$．
∴①正确；
∵$2{\overrightarrow{a}}^{2}+2{\overrightarrow{b}}^{2}$-$4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$2（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}≥0$，
${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-$4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}≥0$，
∴${S}_{min}=4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$．
若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则S_min=0与|$\overrightarrow{b}$|无关，∴②正确；
若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则S_min=$4|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$，与|$\overrightarrow{b}$|有关，∴③错误；
若|$\overrightarrow{b}$|=2|$\overrightarrow{a}$，S_min=4${|\overrightarrow{a}|}^{2}$，则cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}{2|\overrightarrow{a}{|}^{2}}=\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$，故④正确．
∴命题中正确的个数为3个．
故选：D．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查平面向量的数量积运算，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．