Question

6．设F₁，F₂为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点，且|F₁F₂|=2c，若椭圆上存在点P使得|PF₁|•|PF₂|=2c²，则椭圆的离心率的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a，联立|PF₁|•|PF₂|=2c²，求出|PF₂|，由|PF₂|≥a-c求得椭圆的离心率的最小值．

解答 解：由椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a，
联立$\left\{\begin{array}{l}{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|=2a}\\{|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|=2{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$|P{F}_{2}|=a-\sqrt{{a}^{2}-2{c}^{2}}$或$|P{F}_{2}|=a+\sqrt{{a}^{2}-2{c}^{2}}$．
∵$a-\sqrt{{a}^{2}-2{c}^{2}}≤a+\sqrt{{a}^{2}-2{c}^{2}}$，
∴由$a-\sqrt{{a}^{2}-2{c}^{2}}≥a-c$，得$c≥\sqrt{{a}^{2}-2{c}^{2}}$，
两边平方得：c²≥a²-2c²，即3c²≥a²，∴$e≥\frac{\sqrt{3}}{3}$．
即椭圆的离心率的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．