Question

4．抛物线y²=2x与直线y=x-4围成的平面图形面积（　　）

• A． 18
• B． 16
• C． 20
• D． 14

Answer 1

分析 方法一：根据题目信息，作出图形，如图所示：联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=x-4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=4}\end{array}\right.$，则所求的面积为S=${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{2x}$dx+${∫}_{2}^{8}$（$\sqrt{2x}$-x+4）dx，求出原函数，即可求得平面区域的面积，方法二：对y进行积分，所求的面积为S=${∫}_{-2}^{4}$（y+4-$\frac{{y}^{2}}{2}$）dy，即可求得平面区域的面积．

解答 解：方法一：根据题目信息，作出图形，如图所示：

联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=x-4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=4}\end{array}\right.$，则所求的面积为S=${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{2x}$dx+${∫}_{2}^{8}$（$\sqrt{2x}$-x+4）dx．
∵[$\frac{1}{3}$•$（2x）^{\frac{3}{2}}$]′=$\sqrt{2x}$，
∴S=[$\frac{1}{3}$•$（2x）^{\frac{3}{2}}$]${丨}_{0}^{2}$+[$\frac{1}{3}$•$（2x）^{\frac{3}{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{2}$+4x]${丨}_{2}^{8}$=18
故抛物线y²=2x与直线y=x-4所围成的图形的面积是18，
故选A．
方法二：根据题目信息，作出图形，如图所示：
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=x-4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=4}\end{array}\right.$，
则所求的面积为S=${∫}_{-2}^{4}$（y+4-$\frac{{y}^{2}}{2}$）dy=（$\frac{1}{2}$y²+4y-$\frac{{y}^{3}}{6}$）${丨}_{-2}^{4}$=（8+16-$\frac{32}{3}$-2+8-$\frac{4}{3}$）=18，
故选A．

点评 本题考查定积分的简单应用，考查抛物线的与直线的位置关系，考查计算能力，选择合适的积分函数能够减少计算量，属于中档题．