Question

9．P是双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$的右支上一点，M，N分别是圆x²+y²+10x+21=0和x²+y²-10x+24=0上的点，则|PM|-|PN|的最大值为（　　）

• A． 6
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 由题设通过双曲线的定义推出|PF₁|-|PF₂|=6，利用|MP|≤|PF₁|+|MF₁|，|PN|≥|PF₂|-|NF₂|，推出|PM|-|PN|≤|PF₁|+|MF₁|-|PF₂|-|NF₂|，求出最大值．

解答 解：双曲线双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$，如图：
∵a=3，b=4，c=5，
∴F₁（-5，0），F₂（5，0），
∵x²+y²+10x+21=0，x²+y²-10x+24=0，
∴（x+5）²+y²=4和（x-5）²+y²=1，
∵|PF₁|-|PF₂|=2a=6，
∴|MP|≤|PF₁|+|MF₁|，|PN|≥|PF₂|-|NF₂|，
∴-|PN|≤-|PF₂|+|NF₂|，
所以，|PM|-|PN|≤|PF₁|+|MF₁|-|PF₂|+|NF₂|
=6+1+2
=9．
故选D

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．