Question

10．过抛物线y²=4x的顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB，求弦AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 设直线OA的方程为y=kx（k≠0），代入抛物线方程，求得交点A，再设出直线OB的方程，可得交点B，再由中点坐标公式，运用平方消元，即可得到中点的轨迹方程．

解答 解：设M（x，y），直线OA的斜率为k（k≠0），则直线OB的斜率为$-\frac{1}{k}$．
直线OA的方程为y=kx，由$\left\{\begin{array}{l}y=kx\\{y^2}=2px\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2p}{k^2}\\ y=\frac{2p}{k}\end{array}\right.$，即$A（\frac{2p}{k^2}，\frac{2p}{k}）$，
同理可得B（2pk²，-2pk）．
由中点坐标公式，得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{p}{k^2}+p{k^2}\\ y=\frac{p}{k}-pk\end{array}\right.$，消去k，得y²=p（x-2p），
此即点M的轨迹方程y²=2（x-4），

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，求交点，同时考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，属于中档题．