Question

4．已知△ABC中，三条边a，b，c所对的角分别为A、B、C，且a²+b²-c²=ab
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x，求f（B）的最大值，并判断此时△ABC$；\\;的$的形状．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用余弦定理可得cosC=$\frac{1}{2}$，结合范围C∈（0，π），可求C的值．
（Ⅱ）由题意，利用三角函数恒等变换的应用可得f（B）=sin（2B+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，结合B的范围可求2B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{3π}{2}$），利用正弦函数的图象函数性质可求最大值，进而可求B，利用三角形内角和定理可求A，即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵a²+b²-c²=ab，
∴由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
又∵C=$\frac{π}{3}$，可得：B∈（0，$\frac{2π}{3}$），可得：2B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{3π}{2}$），
∴f（B）=sin（2B+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$≤1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，当且仅当2B+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即B=$\frac{π}{6}$时，等号成立，
∴A=π-B-C=$\frac{π}{2}$，
∴f（B）的最大值为$\frac{3}{2}$，此时△ABC为直角三角形．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象函数性质，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．