Question

5．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁＜0，S₂₀₀₉=0．
（1）求S_n的最小值及此时n的值；
（2）求n的取值集合，使a_n≥S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁＜0，S₂₀₀₉=0．可得$\frac{2009（{a}_{1}+{a}_{2009}）}{2}$=0，a₁₀₀₅=0，可得当n=1004或1005时，S_n取得最小值．S₁₀₀₅．
（2）不妨设a₁=-1004，d=1，a_n=-1004+（n-1）=n-1005，S_n=$\frac{1}{2}{n}^{2}$-$\frac{2009}{2}$n．使a_n≥S_n．解出即可．

解答 解：（1）∵a₁＜0，S₂₀₀₉=0．
∴$\frac{2009（{a}_{1}+{a}_{2009}）}{2}$=0，∴a₁₀₀₅=0，
∴当n≤1005时，a_n≤0，
因此当n=1004或1005时，S_n取得最小值．
S₁₀₀₅=$\frac{1005（{a}_{1}+{a}_{1005}）}{2}$=$\frac{1005}{2}{a}_{1}$．
（2）不妨设a₁=-1004，d=1，a_n=-1004+（n-1）=n-1005，
S_n=$\frac{n（-1004+n-1005）}{2}$=$\frac{1}{2}{n}^{2}$-$\frac{2009}{2}$n．
由n-1005≥$\frac{1}{2}{n}^{2}$-$\frac{2009}{2}$n．
化为n²-2011n+2010≤0，
解得1≤n≤2010．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．