Question

(2013·琼海一模)如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD₁，D₁A₁，A₁B，AB的中点，点N在正方形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件________时，就有MN⊥A₁C₁；当N只需满足条件________时，就有MN∥平面B₁D₁C.

Answer 1

　点N在EG上　点N在EH上

[解析]　(1)∵EM∥BD∥B₁D₁，A₁C₁⊥B₁D₁，

∴EM⊥A₁C₁，

∵EG∥AA₁，A₁C₁⊥AA₁，∴GE⊥A₁C₁.

∴A₁C₁⊥平面GEM.故当N在EG上时，MN⊥A₁C₁；

(2)∵EH∥A₁D∥B₁C，EM∥B₁D₁，EH∩EM＝E，

∴平面HEM∥平面B₁D₁C，

∴当N在EH上时，MN∥平面B₁D₁C.

自己用向量法验证结论成立．