Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左右焦点分别为F₁，F₂，过左焦点F₁作直线l与双曲线左右两支分别交于A、B两点，若△ABF₂为正三角形，则双曲线的渐近线方程为（　　）

• A、x±

  3

  y=0
• B、x±

  6

  y=0
• C、

  3

  x±y=0
• D、

  6

  x±y=0

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据双曲线的性质，结合△ABF₂为正三角形，求出a，b，c的关系即可得到结论．

解答： 解：设A、B分别在左、右两支上，
且设|AB|=|BF₂|=|AF₂|=x，
则由|BF₁|-|BF₂|=2a得|AF₁|=2a，
又由|AF₂|-|AF₁|=2a，得|AF₂|=x=4a，
∴△BF₁F₂中，|BF₁|=6a，|BF₂|=4a，|F₁F₂|=2c，
结合余弦定理得，
（2c）²=（6a）²+（4a）²-2×6a×4a×cos60°⇒4c²=28a²，
得a²+b²=7a²，

b2

a2

=6，
故渐近线方程为y=±

6

x．
故选D．

点评：本题主要考查双曲线的渐近线方程，根据双曲线的图象和性质是解决本题的关键．