Question

7．己知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，2sinx），$\overrightarrow{b}$=（2cosx，$\sqrt{3}$cosx），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）用五点法作出函数f（x）在一个周期的图象；
（2）写出函数f（x）单调递增区间和对称中心．

Answer 1

分析 （1）利用向量数量积的公式求出函数f（x）的解析式，利用列表描点即可用五点法作出函数f（x）在一个周期内的图象．
（2）根据三角函数的单调性和对称性的性质进行求解即可．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，2sinx），$\overrightarrow{b}$=（2cosx，$\sqrt{3}$cosx），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=1+2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
函数的周期T=π
列表如下：

x	-$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$
2x+$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1	1	3	1	-1	1

作图如下：

（2）由$2kπ-\frac{π}{2}＜2x+\frac{π}{6}＜2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z
可得$kπ-\frac{π}{3}＜x＜kπ+\frac{π}{6}$，k∈Z．
f（x）的单调递增区间：$[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]$，k∈Z．
由2x+$\frac{π}{6}=kπ$．可得x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$，k∈Z．
函数的对称中心为（$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$，1），k∈Z．

点评 本题主要考查了五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，三角函数的单调性和对称中心的求解，利用向量数量积的公式求出函数f（x）的解析式是解决本题的关键．