Question

15．定义运算$|\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}|$=ad-bc，若函数f（x）=$|\begin{array}{l}{2sinx}&{-cosx}\\{2cosx}&{\sqrt{3}cosx}\end{array}|$+m（x∈R，m为实常数）．当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]时，f（x）的最大值和最小值之和为3．
（1）求f（x）的表达式；
（2）函数y=f（x）的图象经过怎样的变换可以得到y=sinx的图象？

Answer 1

分析 （1）根据定义，求出函数f（x）的表达式，根据函数的最值之间的关系建立方程求出m的值即可得到结论．
（2）根据三角函数的图象变换关系进行求解即可．

解答 解：（1）由定义得f（x）=$|\begin{array}{l}{2sinx}&{-cosx}\\{2cosx}&{\sqrt{3}cosx}\end{array}|$+m=2$\sqrt{3}$sinxcosx-2cos²x+m=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x+m-1=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+m-1，
当∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]时，2x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$]，
即当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最小值为-2+m-1=m-3，
当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$时，函数取得最大值为y=2sin$\frac{π}{6}$+m-1=m，
∵当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]时，f（x）的最大值和最小值之和为3．
∴m-3+m=3，即2m=6，m=3，
则f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+3-1=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2．
（2）将f（x）的同学沿着y轴向下平移2个单位得到y=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），然后横坐标不变，纵坐标变为原来的$\frac{1}{2}$得到y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）=sin2（x-$\frac{π}{12}$）
然后沿着x轴向左平移$\frac{π}{12}$个单位得到y=sin2x．
然后纵坐标不变，横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$，即得到y=sinx．

点评 本题主要考查三角函数图象变换以及函数最值的应用，根据定义求出函数的解析式，结合三角函数的图象和性质求出m的值是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．