Question

4．已知函数f（x）=$\frac{kx}{{x}^{2}+3k}$（k＞0）．
（1）若f（x）＞m的解集为{x|x＜-3或x＞-2}，求不等式5mx²+$\frac{k}{2}$x+3＞0的解集；
（2）若存在x＞3使得f（x）＞1成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）＞m的解集为{x|x＜-3或x＞-2}，可得 f（-3）=m，f（-2）=m，求得m、k的值，从而求得不等式5mx²+$\frac{k}{2}$x+3＞0的解集．
（2）由题意可得k＞$\frac{{x}^{2}}{x-3}$在（3，+∞）上能成立，故k大于g（x）=$\frac{{x}^{2}}{x-3}$的最小值．再利用导数求得g（x）的最小值，可得k的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{kx}{{x}^{2}+3k}$（k＞0），f（x）＞m的解集为{x|x＜-3或x＞-2}，
∴f（-3）=m，f（-2）=m，即 $\frac{-3k}{9+3k}$=m，且 $\frac{-2k}{4+3k}$=m，求得k=2，m=-$\frac{2}{5}$，
故不等式5mx²+$\frac{k}{2}$x+3＞0，即 不等式-2x²+x+3＞0，即 2x²-x-3＜0，求得-1＜x＜$\frac{3}{2}$，
故不等式的解集为{x|-1＜x＜$\frac{3}{2}$ }．
（2）∵存在x＞3使得f（x）＞1成立，∴$\frac{kx}{{x}^{2}+3k}$＞1在（3，+∞）上有解，
即x²-kx+3k＜0在（3，+∞）上有解，k＞$\frac{{x}^{2}}{x-3}$在（3，+∞）上能成立，
故k大于g（x）=$\frac{{x}^{2}}{x-3}$的最小值．
∵g′（x）=$\frac{x（x-6）}{{（x-3）}^{2}}$，∴在（3，6）上，g′（x）＜0，g（x）为减函数；
在（6，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）为增函数，故g（x）的最小值为g（6）=12，∴k＞12．

点评 本题主要考查不等式的解集与方程的根的关系，二次函数的性质，函数的能成立问题，导数与函数的单调性的关系，属于中档题．