Question

如图，三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面BAC，AP=AB=AC=2，∠BAC=∠PAC=120°．
（I）求棱PB的长；
（II）求二面角P-AB-C的大小．

Answer 1

解：（I）如图，作PO⊥AC，垂足为O，连接OB
由已知得△POC≌△BOC，可得BO⊥AC．
∵AP=AB=AC=2，∠BAC=∠PAC=120°．
∴PO=0B=PAsin60°=
∵平面PAC⊥平面BAC，平面PAC∩平面BAC=AC，PO⊥AC
∴PO⊥平面BAC，结合OB?平面BAC，可得PO⊥OB
由此可得PB=PO=
（II）如图，作OD⊥AB于D，连接OD，
∵PO⊥平面BAC，可得OD是PD在平面ABC内的射影
∴PD⊥AB，得∠PDO就是二面角P-AB-O的平面角，等于二面角P-AB-C的补角
∵Rt△BOD中，OD=BOsin∠OBD=POsin30°=PO
∴tan∠PDO==2，可得∠PDO=arctan2
由此可得二面角P-AB-O的平面角等于arctan2，
即得二面角P-AB-C的大小为π-arctan2．
分析：（I）作PO⊥AC，垂足为O，连接OB．根据△POC≌△BOC得到对应高线相等，即PO=0B=PAsin60°=．由面面垂直的性质定理，证出PO⊥平面BAC，可得PO⊥OB，从而得到PB=PO=；
（II）如图，作OD⊥AB于D，连接OD，根据PO⊥平面BAC结合三垂直线定理，得到∠PDO就是二面角P-AB-O的平面角，等于二面角P-AB-C的补角．Rt△BOD中利用解三角形的知识，结合题中数据算出tan∠PDO，从而得到二面角P-AB-C的大小．
点评：本题给出顶角为120°的两个等腰三角形有公共的腰且所在的平面相互垂直，求线段PB之长并求二面角的大小，着重考查了面面垂直、线面垂直的判定与性质、利用三垂线定理作二面的平面角和解直角三角形等知识，属于中档题．