Question

下面有四个命题：
（1）x=2kπ+

π

3

(k∈Z)是tanx=

3

的充分非必要条件；
（2）函数f （x）=|2cos²x-1|的最小正周期是π；
（3）函数f （x）=sin（x+

π

4

）在[-

π

2

，

π

2

]上是增函数；
（4）函数f （x）=asinx-bcosx的图象的一条对称轴为直线x=

π

4

，则a+b=0．
其中正确命题的序号是

（1）（4）

．

Answer 1

分析：根据正切函数的性质判断①；周期函数的定义判断②的正误；函数的单调性判断③；根据正弦函数的对称轴判断④，即可推出结果．

解答：解：（1）由于当x=2kπ+

π

3

(k∈Z)时，tanx=

3

，而tanx=

3

时，x=kπ+

π

3

(k∈Z)，所以x=2kπ+

π

3

(k∈Z)是tanx=

3

的充分非必要条件，故（1）正确；
（2）因为f（x）=|2cos²x-1|=|cos2x|，所以函数的最小正周期为

π

2

，所以（2）错误；
（3）因为函数f （x）=sin（x+

π

4

）的单调增区间为[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]，所以（3）错误；
（4）由题意可得：f（

π

4

+x）=f（

π

4

-x） 对任意x∈R恒成立，即可得2acos

π

4

sinx=-2bsin

π

4

sinx 对任意x∈R恒成立，
即（a+b）sinx=0 对任意x∈R恒成立，所以a+b=0，所以（4）正确．
故答案为（1）（4）．

点评：本题主要考查三角函数的性质，如单调性，周期性，奇偶性以及对称性，此题属于中档题型，考查计算能力，转化思想的应用．