Question

下面有四个命题：
（1）函数y=sin(

2

3

x+

π

2

)是偶函数；
（2）函数f（x）=|2cos²x-1|的最小正周期是π；
（3）函数f(x)=sin(x+

π

4

)在[-

π

2

，

π

2

]上是增函数；
（4）函数f（x）=asinx-bcosx的图象的一条对称轴为直线x=

π

4

，则a+b=0．
其中正确命题的序号是

（1）（4）

．

Answer 1

分析：（1）：因为y=cos

2

3

x，并且函数的定义域为R，所以函数是偶函数．（2）：因为f（x）=|cos2x|，所以函数的最小正周期为

π

2

．（3）：因为函数f(x)=sin(x+

π

4

)的单调增区间为[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]．（4）因为f（

π

4

+x）=f（

π

4

-x），根据两角和与差的正弦余弦公式可得（a+b）sinx=0，所以a+b=0．

解答：解：（1）：由题意可得：y=sin(

2

3

x+

π

2

)=cos

2

3

x，又因为函数的定义域为R，所以函数是偶函数．所以（1）正确．
（2）：因为f（x）=|2cos²x-1|=|cos2x|，所以函数的最小正周期为

π

2

．所以（2）错误．
（3）：因为函数f(x)=sin(x+

π

4

)的单调增区间为[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]，所以（3）错误．
（4）由题意可得：f（

π

4

+x）=f（

π

4

-x） 对任意x∈R恒成立，即可得2acos

π

4

sinx=-2bsin

π

4

sinx 对任意x∈R恒成立，即（a+b）sinx=0 对任意x∈R恒成立，所以a+b=0，所以（4）正确．
故答案为（1）（4）．

点评：本题主要考查三角函数的性质，如单调性，周期性，奇偶性以及对称性，此题属于中档题型，考查计算能力，转化思想的应用．