Question

15．如图（1），在三角形PCD中，AB为其中位线，且2BD=PC=2$\sqrt{6}$，CD=2$\sqrt{2}$，若沿AB将三角形PAB折起，使∠PAD=120°，构成四棱锥P-ABCD，如图（2），E和F分别是棱CD和PC的中点，
（1）求证：平面BEF⊥平面PCD；
（2）求平面PBC与平面PAD所成的二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）求出AD⊥CD，证明CD∥平面PAD，而平面PAD∥平面BEF，即可得出CD⊥平面BEF，于是平面BEF⊥平面PCD；
（2）以A为原点建立坐标系，求出两平面的法向量，则平面PBC与平面PAD所成的二面角的余弦值等于法向量的夹角余弦值的绝对值．

解答 证明：（1）∵PC=2BD，∴∠PDC=90°，
∵AB是△PCD的中位线，
∴CD∥AB，AB⊥PA，AB⊥AD，
又PA?平面PAD，AD?平面PAD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，
∴CD⊥平面PAD．
∵AB$\stackrel{∥}{=}$DE，
∴四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，
又EF为△PCD的中位线，∴EF∥PD．
又BE?平面BEF，EF?平面BEF，AD?平面PAD，PD?平面PAD，BE∩EF=E，PD∩AD=D，
∴平面PAD∥平面BEF，
∴CD⊥平面BEF，
又CD?平面PCD，
∴平面BEF⊥平面PCD．
（2）以A点为原点，以AB为x轴，AD为y轴，面ABCD的垂线为z轴建立空间直角坐标系，
由（1）知BA⊥平面PAD，所以z轴位于平面PAD内，所以∠PAz=30°，
∴P（0，-1，$\sqrt{3}$），A（0，0，0），B（$\sqrt{2}$，0，0），C（2$\sqrt{2}$，2，0），
∴$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{2}$，1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{2}$，2，0），
设平面PBC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0$，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x+y-\sqrt{3}z=0}\\{\sqrt{2}x+2y=0}\end{array}\right.$，令y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{2}$，1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
又$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{2}$，0，0）为平面PAD的一个法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AB}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{2}•\sqrt{\frac{10}{3}}}$=-$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
又平面PBC与平面PAD所成的二面角的平面角为锐角，
所以平面PBC与平面PAD所成的二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查了线面垂直，面面平行的判定与性质，二面角的计算，空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．