Question

4．已知直线l与双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1交于A、B两点，现取AB的中点M在第一象限，并且在抛物线y²=4x上，M到抛物线焦点的距离为2，则直线l的斜率为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 根据点与抛物线的关系求出中点M的坐标，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入双曲线的方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式．

解答 解：由已知设M（a，b），
抛物线y²=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1
∵M到抛物线焦点（1，0）的距离为2，
∴a+1=2，即a=1，此时b²=4，则b=2，即M（1，2）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{12}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{12}$=1，
两式相减可得，$\frac{1}{4}$（x₁-x₂）（x₁+x₂）-$\frac{1}{12}$（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
M为AB的中点，即有x₁+x₂=2，y₁+y₂=4，
可得直线AB的斜率为k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{12（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=$\frac{12×2}{4×4}$=$\frac{3}{2}$．
故选：C

点评 本题考查双曲线的中点弦所在直线方程的求法，注意运用点差法，注意检验直线的方程的存在性，考查运算能力，属于中档题．