Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对于任意n∈N^*，都有a_n是n与S_n的等差中项，
（1）求证：a_n=2a_n-1+1（n≥2）；
（2）求证：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜2．

Answer 1

分析：（1）根据a_n是n与S_n的等差中项建立等式关系2a_n=S_n+n，根据递推关系得到当n≥2时，2a_n-1=S_n-1+n-1，将两式作差整理可得结论；
（2）由（1）知a_n+1=2（a_n-1+1），从而得到{a_n+1}是首项为a₁+1=2，公比为2的等比数列，求出其通项公式，然后利用放缩法得

1

an

=

1

2n-1

＜

1

2n-1

，最后利用等比数列求和公式进行求和，证得结论．

解答：证明：（1）∵a_n是n与S_n的等差中项
∴2a_n=S_n+n，
所以当n=1时，a₁=1，
当n≥2时，2a_n-1=S_n-1+n-1，
两式作差：2a_n-2a_n-1=S_n-S_n-1+1=a_n+1，
整理得：a_n=2a_n-1+1，n≥2．
（2）由（1）知，a_n+1=2（a_n-1+1），
所以{a_n+1}是首项为a₁+1=2，公比为2的等比数列，
a_n+1=2ⁿ，所以a_n=2ⁿ-1，所以：
当n=1时，

1

a1

=1＜2成立，
当n≥2时，a_n=2ⁿ-1＞2^n-1，
故

1

an

=

1

2n-1

＜

1

2n-1

，
所以：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=

1- 1 2n

1- 1 2

=2(1-

1

2n

)＜2

点评：本题主要考查了数列递推式，以及利用放缩法证明不等式和等比数列的求和，同时考查了转化的思想和计算的能力，属于中档题．