【题目】记等差数列的前项和为.
(1)求证:数列是等差数列;
(2)若 ,对任意,均有是公差为的等差数列,求使为整数的正整数的取值集合;
(3)记,求证: .
【答案】(1)见解析(2)(3)见解析
【解析】【试题分析】(1)先设等差数列的公差为,将,进而得到当时, ,依据定义可知数列是等差数列;(2)依据题设条件“任意的都是公差为,的等差数列”求出,然后建立等式,分析探求出满足条件,当时不满足,进而求出正整数的取值集合为;(3)先依据题设将问题转化为证明不等式。证明时运用了做差比较的方法进行推证,进而证得 ,使得不等式或获证。
解:(1)设等差数列的公差为,则,从而,所以当时, ,即数列是等差数列.
(2)因为的任意的都是公差为,的等差数列,所以是公差为,的等差数列,又,所以,所以,显然, 满足条件,当时,因为,所以,所以不是整数,综上所述,正整数的取值集合为.
(3)设等差数列的公差为,则,所以,即数列是公比大于,首项大于的等比数列,记公比为.以下证明: ,其中为正整数,且,因为,所以,所以,当时, ,当时,因为为减函数, ,所以,所以,综上, ,其中
,即.
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【题目】在直角坐标系xOy中,设倾斜角为α的直线: (t为参数)与曲线C: (θ为参数)相交于不同的两点A,B.
(1)若α= ,求线段AB的长度;
(2)若直线的斜率为 ,且有已知点P(2, ),求证:|PA||PB|=|OP|2 .
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【题目】某种植基地将编号分别为1,2,3,4,5,6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的
A | B | C | D | E | F |
这六块实验田上进行对比试验,要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯,若种植时要求编号1,3,5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻,且2号品种的马铃薯不能种植在A、F这两块实验田上,则不同的种植方法有 ( )
A. 360种 B. 432种 C. 456种 D. 480种
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【题目】从0,1,2,3,4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数,记X为所组成的三位数各位数字之和.
(1)求X是奇数的概率;
(2)求X的概率分布列及数学期望.
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【题目】已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足:
①x>1时,f(x)<0;
②f( )=1;
③对任意的正实数x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y).
(1)求证:f( )=﹣f(x);
(2)求证:f(x)在定义域内为减函数;
(3)求满足不等式f(log0.5m+3)+f(2log0.5m﹣1)≥﹣2的m集合.
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【题目】已知函数f(x)=x2+bx+c满足f(2﹣x)=f(2+x),f(0)>0,且f(m)=f(n)=0(m≠n),则log4m﹣ n的值是( )
A.小于1
B.等于1
C.大于1
D.由b的符号确定
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【题目】某科技公司生产一种手机加密芯片,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于为合格品,小于为次品.现随机抽取这种芯片共件进行检测,检测结果统计如表:
测试指标 | |||||
芯片数量(件) |
已知生产一件芯片,若是合格品可盈利元,若是次品则亏损元.
(Ⅰ)试估计生产一件芯片为合格品的概率;并求生产件芯片所获得的利润不少于元的概率.
(Ⅱ)记为生产件芯片所得的总利润,求随机变量的分布列和数学期望
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