Question

已知点P是曲线y=

3-ex

ex+1

上一动点，α为曲线在P处的切线的倾斜角，α的最小值为

 

，α的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：求出函数的导数，根据导数的几何意义，利用基本不等式即可得到结论．

解答： 解：函数y=f（x）=

3-ex

ex+1

的导数为f′（x）=

-4ex

(ex+1)2

=

-4ex

(ex)2+2ex+1

=-

4

ex+ 1 ex +2

，
∵ex+

1

ex

+2≥2

ex• 1 ex

+2=2+2=4，当且仅当x=0时取等号，
∴0＜

1

ex+ 1 ex +2

≤

1

4

，
即0＜

4

ex+ 1 ex +2

≤1，
-1≤-

4

ex+ 1 ex +2

＜0
则-1≤f′（x）＜0，
即-1≤tanα＜0，
∴

3π

4

≤α＜π，
即α的最小值为

3π

4

，α的取值范围是

3π

4

≤α＜π，
故答案为：

3π

4

，

3π

4

≤α＜π

点评：本题主要考查导数的几何意义，函数导数和倾斜角之间的关系，利用基本不等式求出最值是解决本题的关键．综合性较强，质量较高．