Question

若关于x的不等式|x-1|-|x+2|≥a的解集为R，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：令f（x）=|x-1|-|x+2|，通过对x的取值范围的讨论，去掉绝对值符号，可求得f（x）_min=-3，依题意，即可求得实数a的取值范围．

解答： 解：令f（x）=|x-1|-|x+2|，
当x＜-2时，f（x）=1-x-（-x-2）=3；
当-2≤x≤1时，f（x）=1-x-（x+2）=-2x-1∈[-3，3]；
当x＞1时，f（x）=x-1-（x+2）=-3；
∴f（x）_min=-3．
∵等式|x-1|-|x+2|≥a的解集为R，
∴a≤f（x）_min=-3，即实数a的取值范围是（-∞，-3]．
故答案为：（-∞，-3]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，通过构造函数，对x的取值范围的讨论，去掉绝对值符号，求得f（x）_min=-3是关键，属于中档题．