Question

若关于x的方程

1-x2

=2x+m有两个不同实数解，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：首先把方程转换为两个函数y=2x+m，和y=

1-x2

，然后画出它们的图象，利用数形结合即可求出m的取值范围．

解答： 解：由关于x的方程

1-x2

=2x+m，
可设y=2x+m，和y=

1-x2

，-1≤x≤1，
由y=

1-x2

，
可得x²+y²=1，
因为-1≤x≤1，
所以y=

1-x2

，-1≤x≤1，表示圆的上半部分；
①当直线2x-y+m=0与圆相切时，
圆心到直线的距离d=

|m|

5

=1，
解得m=±

5

，
由图象可知b＞0，所以b=

5

；
②当直线经过点（-1，0）时，直线满足-2+m=0，
解得m=2；
所以要使关于x的方程

1-x2

=2x+m有两个不同实数解，
则实数m的取值范围是[2，

5

）．
故答案为：[2，

5

）．

点评：本题主要考查了方程的根的存在性以及根的个数的判断，属于中档题，解答此题的关键是利用数形结合，使复杂的问题简单化．