Question

已知函数f（x）满足：f（1）=

1

4

，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R）．则：
（1）f（0）=

 

；
（2）f（2013）=

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法，令x=1，y=0，即可求出f（0），
（2）利用赋值法，求出f（x+6）=f（x），可得函数f（x）是周期T=6的周期函数，利用周期性，计算即可求得答案．

解答： 解：（1）∵f（1）=

1

4

，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y），
∴令x=1，y=0，4f（1）f（0）=f（1）+f（1），
即f（0）=

1

2

．
（2）∵4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），
∴令y=1，可得，4f（x）f（1）=f（x+1）+f（x-1），
又∵f（1）=

1

4

，则有f（x）=f（x+1）+f（x-1），①
用x+1替换x，得f（x+2）=f（x+1）-f（x），②
∴①+②得f（x+2）=-f（x-1），
再用x+1替换x，得f（x+3）=-f（x），③
∴f（x+6）=f[（x+3）+3]=-f（x+3）=-[-f（x）]=f（x），
∴函数f（x）是周期T=6的周期函数，
∴f（2013）=f（335×6+3）=f（3），
∵4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）
令x=y=1，得4f²（1）=f（2）+f（0），可得f（2）=-

1

4

，
令x=2，y=1，得4f（2）f（1）=f（3）+f（1），解得f（3）=-

1

2

，
∴f（2013）=f（3）=-

1

2

．
故答案为：

1

2

，-

1

2

．

点评：本题给出抽象函数满足的条件，求特殊的函数值．着重考查了函数的定义、函数值的求法和赋值法研究抽象函数的等知识．准确找出周期是此类问题（项数很大）的关键，分别可以用归纳法和演绎法得出周期．