Question

【题目】某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.

（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；

（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?

（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为，求的分布列和数学期望.

附：

Answer 1

【答案】（1）820人；（2）在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系；（3）分布列见解析，期望为1．

【解析】试题分析：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，当前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列时，以下的频率为，故全年级视力在以下的人数约为；

（Ⅱ）由，因此在犯错误的概率不超过的前提下认为视力与学习成绩有关系；

（Ⅲ）依题可取，，，，则，，

，，

所以的数学期望.

试题解析：（Ⅰ）设各组的频率为，

依题意，前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，故

，，

所以由得，

所以视力在5.0以下的频率为1-0.17=0.83，

故全年级视力在5.0以下的人数约为

(Ⅱ)

因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.

（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，

可取0，1，2，3，

，，

，

的分布列为

X	0	1	2	3
P

的数学期望