Question

【题目】如图，四面体中，平面，，，．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）在线段上是否存在点，使得，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）在线段上存在点，当时，使得．

【解析】

（Ⅰ）由勾股定理得，又平面，可证，利用线面垂直的判定定理即可得到证明；（Ⅱ）在平面内，过点作，垂足为，在平面内，过点作，交于点，连结，利用线面垂直的判断定理可证平面，利用线面垂直的性质可证，在中，解三角形即可得解的值．

（Ⅰ）由题知：，，．

则，所以，

又因为平面，所以，

因为，

所以平面；

（Ⅱ）在线段上存在点，当时，使得．

理由如下：

在平面内，过点作，垂足为，

在平面内，过点作，交于点，连结，

由平面，知，

所以，所以平面，

又因为平面，所以，

在中，，

所以，，

所以，

所以，