Question

【题目】已知函数(为自然对数的底数，）,(,),

⑴若，．求在上的最大值的表达式；

⑵若时，方程在上恰有两个相异实根，求实根的取值范围；

⑶若，,求使得图像恒在图像上方的最大正整数．

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)．

【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用分类整合思想求解；(2)依据题设运用化归转化的数学思想进行探求；(3)依据题设构造函数,运用导数的知识求解．

试题解析：

(1)时，,

;

①当时，，在上为增函数，此时，

②当时，，在上为增函数，

故在上为增函数，此时…………………………………2分

③当时，，在上为增函数，在上为减函数，

若，即时，故在上为增函数，在上为减函数，

此时………………………………5分

若，即时，在上为增函数，则此时，

综上所述：………………………………6分，

（2），，

在上单调递减，在上单调递增，……………7分

在上恰有两个相异实根，

，

实数的取值范围是，…………………………………10分

（3）由题设：,，（*）

，故在上单调递减，在上单调递增，

（*），

设，则，

在上单调递增，在上单调递减，…………………………12分

而，

且，

故存在，使，

且时，，时，，

又，，时，使的图像恒在图像的上方的最大整数………………14分．