Question

已知函数f(x)=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

)sin(x+

π

4

)
（1）求函数f（x）在区间[-

π

12

，

π

2

]上的值域
（2）若f(a)=

3

5

，2a是第一象限角，求tan2α的值．

Answer 1

分析：（1）先利用正弦余弦的差角公式进行化简，然后利用配角公式进行化简整理成sin（2x-

π

6

），然后根据x的范围判定函数的单调性，从而求出函数f（x）在区间[-

π

12

，

π

2

]上的值域；
（2）先根据角所在象限求出cos2α，sin2α，从而求出tan2α的值．

解答：解：（1）∵f(x)=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

)sin(x+

π

4

)=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx)=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin2x-cos2x=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x=sin(2x-

π

6

)---------------------（4分）∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]
当x=

π

3

时，f（x）取最大值 1
又∵f(-

π

12

)=-

3

2

＜f(

π

2

)=

1

2

，∴当x=-

π

12

时，f（x）取最小值-

3

2

所以 函数 f（x）在区间[-

π

12

，

π

2

]上的值域为[-

3

2

，1]-----（7分）
（2）因为2a是第一象限角，所以2a-

π

6

为第一四象限f(a)=sin(2α-

π

6

)=

3

5

所以cos(2α-

π

6

)=

4

5

cos2α=cos(2α-

π

6

+

π

6

)=

4 3 -3

10

，sin2α=sin(2α-

π

6

+

π

6

)=

3 3 +4

10

，---（13分）tan2α=

4+3 3

4 3 -3

=

48+25 3

39

---------------------------------------------------------（14分）

点评：本题主要考查了函数的值域，以及差角公式和配角公式的应用，解题的关键是化简变形，属于中档题．