Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2C﹣3cos（A+B）=1
（1）求角C的大小；
（2）若c= ，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由cos2C﹣3cos（A+B）=1和A+B=π﹣C得，

2cos2C+3cosC﹣2=0，则（2cosC﹣1）（cosC+2）=0

解得cosC= 或cosC=﹣2（舍去），

因为0＜C＜π，所以C= ；

（2）解：方法1：由（1）得，A+B= ，则B= ﹣A，

由 得， ，

则a= ，b= ，…（8分）

则a+b= + = +

= +2 （ ）=

=

∵ ，∴ ，

则 ，即a+b= ≤ ，

综上：a+b+c≤ ，即△ABC周长的最大值是 ．

法2：由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，

则6=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab…（8分）

即6≥ =

解得（a+b）2≤24，则a+b≤ （当且仅当a=b= 时取到等号）

综上：a+b+c≤ ，即△ABC周长的最大值是 ．

【解析】（1）由内角和定理、诱导公式、二倍角余弦公式的变形化简已知的等式，求出cosC的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出C的值；（2）方法1：由（1）和内角和定理表示出A、B的关系，由正弦定理求出a、b，代入a+b利用两角和差的正弦公式化简，由A的范围和正弦函数的性质求出a+b的范围，即可求出△ABC周长的最大值；方法2：由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，代入数据结合完全平方公式化简，利用基本不等式求出a+b的最大值，即可求出△ABC周长的最大值．
【考点精析】利用正弦定理的定义和余弦定理的定义对题目进行判断即可得到答案，需要熟知正弦定理:；余弦定理:;;．