Question

6．已知单位向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$，若$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，且|$\overrightarrow{c}$$-\overrightarrow{a}$|+$\overrightarrow{c}$$-2\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，则|$\overrightarrow{c}$$+2\overrightarrow{a}$|的取值范围是[1，2]．

Answer 1

分析 由题意将所用的向量放到坐标系中用坐标表示，借助于两点之间的距离公式以及几何意义，即可得到最值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}$，$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$，
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为60°．
设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，A（1，0），B（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），C（x，y）．
∵|$\overrightarrow{c}$$-\overrightarrow{a}$|+$\overrightarrow{c}$$-2\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x-1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴C点到A（1，0）与到点D（1，$\sqrt{3}$）的距离之和为$\sqrt{3}$，
∵|AD|=$\sqrt{3}$，
∴C在线段AD上．
而|$\overrightarrow{c}$$+2\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$，表示C（x，y）到点E（2，0）的距离．
∴当C位于点A时，|CE|取得最小值1，当C位于D时，|CE|取得最大值2．
故答案为：[1，2]．

点评 本题考查了向量的坐标运算、两点之间的距离公式，关键是利用几何意义和坐标法解决．