Question

15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC+csinA-b=0．
（I）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=3，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）根据正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简即可求角A的大小；
（Ⅱ）利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式即可得出．

解答 解：（I）∵acosC+csinA-b=0，
∴由正弦定理得sinAcosC+sinCsinA=sinB，
即sinAcosC+sinCsinA=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
即sinCsinA=cosAsinC，
∵sinC≠0，
∴sinA=cosA，即tanA=1，
则A=$\frac{π}{4}$；
（Ⅱ）∵A=$\frac{π}{4}$，a=3；
∴由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴9=b²+c²-2bccosA≥2bc-$\sqrt{2}$bc=（2-$\sqrt{2}$）bc，
∴bc≤$\frac{9}{2-\sqrt{2}}$，当且仅当b=c时取等号．
∴∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2-\sqrt{2}}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{9（1+\sqrt{2}）}{4}$．
∴△ABC的面积的最大值是$\frac{9（1+\sqrt{2}）}{4}$．

点评 本题考查了余弦定理、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了推理能力和计算能力，利用两角和差的正弦公式进行化简是解决本题的关键．