Question

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，单位圆与x轴的正半轴与负半轴分别交于点A，B，角α的始边为OA，终边与单位圆交于x轴下方一点P．
（Ⅰ）若∠PBO=30°，写出与角α的终边相同的角β的集合；
（Ⅱ）若点P的横坐标为-$\frac{8}{17}$，求4sinα+cosα的值；
（Ⅲ）若α=-$\frac{2π}{3}$，求圆心角为钝角∠AOP的扇形面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若∠PBO=30°，先求出∠AOP=60°，即可写出与角α的终边相同的角β的集合；
（Ⅱ）若点P的横坐标为-$\frac{8}{17}$，得cosα的值，同时得sinα，即可求4sinα+cosα的值；
（Ⅲ）根据扇形的面积公式进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）若∠PBO=30°，
则∠BPO=30°，
∠BOP=180°-30°-30°=120°，
则∠AOP=60°，
则角α的终边相同的角β=-60°+k360°，
即{β|β=-60°+k360°，k∈Z}；
（Ⅱ）若点P的横坐标为-$\frac{8}{17}$，
则cosα=-$\frac{8}{17}$，则sinα=$\sqrt{1-cos^2α}$=$\sqrt{1-（-\frac{8}{17}）^{2}}$=$\frac{15}{17}$，
则4sinα+cosα=4×$\frac{15}{17}$-$\frac{8}{17}$=$\frac{52}{17}$；
（Ⅲ）若α=-$\frac{2π}{3}$，则∠AOP=$\frac{2π}{3}$，
则圆心角为钝角∠AOP的扇形面积S=$\frac{1}{2}$lr=$\frac{1}{2}$αr²=$\frac{1}{2}$×$\frac{2π}{3}$=$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查三角函数的定义以及扇形的面积公式的计算，比较基础．