Question

17．在区间[-1，1]上任取两数m和n，则关于x的方程x²+mx+n=0的两根都是负数的概率（　　）

• A． $\frac{1}{48}$
• B． $\frac{1}{24}$
• C． $\frac{13}{24}$
• D． $\frac{11}{24}$

Answer 1

分析 根据几何概型的概率公式，利用积分求出对应区域的面积进行求解即可．

解答 解：∵区间[-1，1]上任取两数m和n，∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤m≤1}\\{-1≤n≤1}\end{array}\right.$，对应的区域为正方形，面积S=2×2=4，
若方程x²+mx+n=0的两根都是负数，
则$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4n≥0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=n＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=-m＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{n＜\frac{{m}^{2}}{4}}\\{n＞0}\\{m＞0}\end{array}\right.$，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则对应的面积S=∫${\;}_{0}^{1}$$\frac{{m}^{2}}{4}$dm=$\frac{1}{12}$m³|${\;}_{0}^{1}$=$\frac{1}{12}$，
则对应的概率P=$\frac{\frac{1}{12}}{4}$=$\frac{1}{48}$，
故选：A．

点评 本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出对应的区域以及区域的面积是解决本题的关键．