Question

9．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=3x，若$\frac{1}{2}$$＜a＜\frac{3}{4}$，关于x的方程ax+3a-f（x）=0在区间上[-3，2]不相等的实数根的个数为5．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和周期性的关系求出函数f（x）的解析式，利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：∵f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是周期为2的周期函数，
若x∈[-1，0]时，则-x∈[0，1]，
∵当x∈[0，1]时，f（x）=3x，
∴当-x∈[0，1]时，f（-x）=-3x，
∵函数f（x）是偶函数，
∴f（-x）=-3x=f（x），
即f（x）=-3x，x∈[-1，0]，
由ax+3a-f（x）=0得a（x+3）=f（x），
设g（x）=a（x+3），
分别作出函数f（x），g（x）在区间上[-3，2]上的图象如图
∵$\frac{1}{2}$$＜a＜\frac{3}{4}$，
∴当a=$\frac{1}{2}$和$\frac{3}{4}$时，对应的直线为两条虚线，
则由图象知两个函数有5个不同的交点，
故方程有5个不同的根，
故答案为：5．

点评 本题主要考查方程根的个数的判断，利用函数与方程的关系，转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．