Question

20．如图，四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，M，N分别为SA，SC的中点，E为棱SB上的一点，且SE=2EB．
（1）证明：MN∥平面ABCD；
（2）证明：DE⊥平面SBC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连AC，则MN∥AC，由此能证明MN∥平面ABCD．
（Ⅱ）连结BD，推导出DB⊥BC，SD⊥BC，从而BC⊥平面SDB，BC⊥DE，由题意得△EBD∽△DBS，由此能证明DE⊥平面SBC．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）连AC，∵M，N分别为SA，SC的中点，∴MN∥AC，
又∵MN?平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD．（5分）
（Ⅱ）连结BD，∵BD²=1²+1²=2，BC²=1²+（2-1）²=2，
BD²+BC²=2+2=4=DC²，∴DB⊥BC，
又SD⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，∴SD⊥BC，
∵SD∩DB=D，∴BC⊥平面SDB，
∵DE?平面SDB，∴BC⊥DE，
又SB=$\sqrt{S{D}^{2}+D{B}^{2}}$=$\sqrt{4+2}$=$\sqrt{6}$，
当SE=2ED时，EB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
在△EBD与△DBS中，$\frac{EB}{BD}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{DB}{BS}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{EB}{BD}$=$\frac{DB}{BS}$，
又∠EBD=∠DBS，∴△EBD∽△DBS，
∴∠DEB=∠SDB=90°，即DE⊥SB．
∵SB∩BC=B，
∴DE⊥平面SBC．（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．