Question

4．已知函数f（x）=x+sin2x，给出以下四个命题：
①函数f（x）的图象关于坐标原点对称；
②?x＞0，不等式f（x）＜3x恒成立；
③?k∈R，使方程f（x）=k没有实数根；
④若数列{a_n}是公差为$\frac{π}{3}$的等差数列，且f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）=3π，则a₂=π，
其中的正确命题有①②④．（将正确的序号都写上）

Answer 1

分析 判断f（x）的奇偶性，单调性，值域，逐项判断．

解答 解：①∵f（-x）=-x-sin2x=-f（x），∴f（x）是奇函数，
∴f（x）的图象关于原点对称．故①正确；
②令g（x）=f（x）-3x=sin2x-2x，则g′（x）=2cos2x-2≤0，
∴g（x）是减函数，∵g（0）=0，
∴当x＞0时，g（x）＜0，即f（x）＜3x．故②正确；
③当x→+∞时，f（x）→+∞，当x→-∞时，f（x）→-∞，
∴f（x）的值域为R，
∴不存在k∈R，使方程f（x）=k没有实数根，故③错误；
④∵数列{a_n}是公差为$\frac{π}{3}$的等差数列，
设a₁=a₂-$\frac{π}{3}$，a₃=a₂+$\frac{π}{3}$．
∴f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）=a₂-$\frac{π}{3}$+sin（2a₂-$\frac{2π}{3}$）+a₂+sin2a₂+a₂+$\frac{π}{3}$+sin（2a₂+$\frac{2π}{3}$）
=3a₂-$\frac{1}{2}$sin2a₂-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2a₂+sin2a₂-$\frac{1}{2}$sin2a₂+$\frac{\sqrt{3}}{2}cos$2a₂
=3a₂．
∵f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）=3π，∴3a₂+2sina₂=3π，∴a₂=π．故④正确．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了函数的性质判断，属于中档题．